Regressionsanalyse

In der statistischen Modellierung ist die Regressionsanalyse eine Reihe von statistischen Verfahren zur Schätzung der Beziehungen zwischen Variablen. Es beinhaltet viele Techniken zur Modellierung und Analyse mehrerer Variablen, wenn der Fokus auf der Beziehung zwischen einer abhängigen Variablen und einer oder mehreren unabhängigen Variablen (oder "Prädiktoren") liegt. Genauer gesagt, hilft die Regressionsanalyse zu verstehen, wie sich der typische Wert der abhängigen Variablen (oder "Kriteriumsvariablen") ändert, wenn eine der unabhängigen Variablen variiert wird, während die anderen unabhängigen Variablen fest gehalten werden.

Am häufigsten schätzt die Regressionsanalyse die bedingte Erwartung der abhängigen Variablen gegenüber den unabhängigen Variablen, d.h. den Durchschnittswert der abhängigen Variablen, wenn die unabhängigen Variablen fest sind. Weniger häufig liegt der Fokus auf einem Quantil oder einem anderen Standortparameter der bedingten Verteilung der abhängigen Variablen unter Berücksichtigung der unabhängigen Variablen. In allen Fällen ist eine Funktion der unabhängigen Variablen, die Regressionsfunktion genannt wird, zu schätzen. In der Regressionsanalyse ist es auch von Interesse, die Variation der abhängigen Variablen um die Vorhersage der Regressionsfunktion mittels einer Wahrscheinlichkeitsverteilung zu charakterisieren. Ein verwandter, aber unterschiedlicher Ansatz ist die Notwendige Zustandsanalyse (Necessary Conditon Analysis / NCA), die den maximalen (und nicht den durchschnittlichen) Wert der abhängigen Variablen für einen gegebenen Wert der unabhängigen Variablen (Deckenlinie statt Mittellinie) schätzt, um festzustellen, welcher Wert der unabhängigen Variablen notwendig, aber nicht ausreichend für einen gegebenen Wert der abhängigen Variablen ist.

Die Regressionsanalyse wird häufig für Vorhersagen und Prognosen verwendet, wo sich ihre Verwendung mit dem Bereich des maschinellen Lernens erheblich überschneidet. Die Regressionsanalyse wird auch verwendet, um zu verstehen, welche der unabhängigen Variablen mit der abhängigen Variablen in Beziehung stehen, und um die Formen dieser Beziehungen zu untersuchen. Unter eingeschränkten Umständen kann die Regressionsanalyse verwendet werden, um kausale Zusammenhänge zwischen den unabhängigen und abhängigen Variablen abzuleiten. Dies kann jedoch zu Illusionen oder falschen Beziehungen führen, weshalb Vorsicht geboten ist.

Es wurden viele Techniken zur Durchführung der Regressionsanalyse entwickelt. Vertraute Methoden wie die lineare Regression und die gewöhnliche Regression der kleinsten Quadrate sind parametrisch, da die Regressionsfunktion in Form einer endlichen Anzahl unbekannter Parameter definiert ist, die aus den Daten geschätzt werden. Nichtparametrische Regression bezieht sich auf Techniken, die es ermöglichen, dass die Regressionsfunktion in einem bestimmten Satz von Funktionen liegt, die unendlich dimensional sein können.

Die Leistungsfähigkeit von Regressionsanalysemethoden in der Praxis hängt von der Form des datengenerierenden Prozesses und der Beziehung zum verwendeten Regressionsansatz ab. Da die wahre Form des datengenerierenden Prozesses im Allgemeinen nicht bekannt ist, hängt die Regressionsanalyse oft bis zu einem gewissen Grad von Annahmen über diesen Prozess ab. Diese Annahmen sind manchmal prüfbar, wenn eine ausreichende Menge an Daten verfügbar ist. Regressionsmodelle für die Vorhersage sind oft nützlich, auch wenn die Annahmen mäßig verletzt werden, obwohl sie möglicherweise nicht optimal funktionieren. In vielen Anwendungen, insbesondere bei kleinen Effekten oder Fragen der Kausalität basierend auf Beobachtungsdaten, können Regressionsmethoden jedoch irreführende Ergebnisse liefern.

Im engeren Sinne kann sich die Regression spezifisch auf die Schätzung von kontinuierlichen (abhängigen) Variablen beziehen, im Gegensatz zu den bei der Klassifizierung verwendeten diskreten Antwortvariablen. Der Fall einer kontinuierlichen abhängigen Variablen kann spezifischer als metrische Regression bezeichnet werden, um sie von verwandten Problemen zu unterscheiden.

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